محول الأساس العددي: شرح الثنائي والعشري والسداسي عشر

النظام العشري (الأساس 10) يستخدم عشرة أرقام: 0 إلى 9. الثنائي (الأساس 2) يستخدم رقمين: 0 و1. السداسي عشر (الأساس 16) يستخدم ستة عشر رقماً: 0 إلى 9 و A إلى F. هذه الأنظمة الثلاثة هي الأكثر أهمية عملياً لأنها تدعم جميع الحوسبة الرقمية، فالثنائي هو ما تستخدمه الحواسيب فعلياً داخلياً؛ والسداسي عشر هو طريقة البرمجيين لتمثيل البيانات الثنائية بشكل مضغوط؛ والعشري هو الطريقة الطبيعية للإنسان في العدّ.

فهم تحويل الأسس العددية مفيد لطلاب علوم الحاسوب ومطوري البرمجيات العاملين مع عناوين الذاكرة أو أكواد الألوان وأي شخص يُعالج مخرجات تقنية تظهر بتنسيق سداسي عشر أو ثنائي. كما أنه موضوع شائع في مناهج الرياضيات المدرسية.

لتحويل عدد عشري إلى ثنائي، اقسمه تكراراً على 2 وسجّل الباقيات. العدد الثنائي هو الباقيات مقروءة بالترتيب العكسي. للرقم 13: 13 ÷ 2 = 6 والباقي 1؛ 6 ÷ 2 = 3 والباقي 0؛ 3 ÷ 2 = 1 والباقي 1؛ 1 ÷ 2 = 0 والباقي 1. الباقيات معكوسة: 1101. إذن 13 في العشري هو 1101 في الثنائي.

للتحقق: في الثنائي كل موضع يمثّل قوة من قوى 2. قراءة 1101 من اليمين إلى اليسار: 1×(2⁰) + 0×(2¹) + 1×(2²) + 1×(2³) = 1 + 0 + 4 + 8 = 13. يستخدم التحويل في الاتجاهين القيمة المكانية لكل رقم.

لتحويل الثنائي إلى عشري، اضرب كل رقم ثنائي في قيمته المكانية (قوة من قوى 2) واجمع النتائج. تُرقَّم المواضع من اليمين إلى اليسار بدءاً من 0. لثنائي 10110: المواضع من اليمين هي 0 و1 و2 و3 و4. القيم: 0×1 + 1×2 + 1×4 + 0×8 + 1×16 = 0 + 2 + 4 + 0 + 16 = 22.

القيم المكانية لطول الثنائيات الشائعة: الأعداد ذات 4 بتات (نيبل) من 0 إلى 15؛ ذات 8 بتات (بايت) من 0 إلى 255؛ ذات 16 بتاً من 0 إلى 65,535؛ ذات 32 بتاً من 0 إلى 4,294,967,295. هذه الحدود العليا تحدد نطاق القيم التي يمكن تمثيلها في كل نوع بيانات.

يُمثّل السداسي عشر (hex) البيانات الثنائية بشكل أكثر إيجازاً. رقم سداسي عشر واحد يمثّل تماماً أربعة أرقام ثنائية (نيبل). هذا يعني أن البايت ذا 8 بتات يمكن دائماً كتابته كرقمين سداسيين عشريين بالضبط. مثلاً، البايت الثنائي 11111111 يساوي FF في السداسي عشر و255 في العشري. التمثيل المضغوط يجعل السداسي عشر مثالياً لعناوين الذاكرة وأكواد الألوان وأكواد الأخطاء.

أكواد ألوان CSS تطبيق شائع: #FF5733 لون سداسي عشر حيث FF = شدة الأحمر (255) و57 = شدة الأخضر (87) و33 = شدة الأزرق (51). تحويل كل زوج سداسي عشري مكوّن من رقمين إلى عشري يعطي قيم RGB. لهذا أيضاً يُستخدم السداسي عشر في تصحيح الأخطاء، إذ يمثّل المحتوى الثنائي للذاكرة في تنسيق قصير بما يكفي لمسحه بصرياً.

من العشري إلى السداسي عشر: اقسم على 16 وسجّل الباقيات (0-15، حيث 10=A و15=F). لـ255: 255 ÷ 16 = 15 والباقي 15؛ 15 ÷ 16 = 0 والباقي 15. الباقيات معكوسة: 15 و15 = FF. لـ87: 87 ÷ 16 = 5 والباقي 7؛ 5 ÷ 16 = 0 والباقي 5. الباقيات معكوسة: 5 و7 = 57.

من السداسي عشر إلى العشري: اضرب كل رقم في قيمته المكانية (قوة من قوى 16) واجمع. لـ2F: F (أي 15) في موضع الآحاد (16⁰ = 1)، و2 في موضع الستة عشرات (16¹ = 16). الحساب: (2 × 16) + (15 × 1) = 32 + 15 = 47. إذن السداسي عشر 2F يساوي العشري 47.

استخدم أزواج القياس هذه للتحقق السريع.